Una propiedad de los números impares

La leí en la revista SUMA, en el número 19, de 1995, un artículo publicado por Ricardo Barroso Campos, en donde se enuncia esta propiedad, que describiré enseguida y se habla de Nicómaco de Gerasa, filósofo griego, del que yo, ignorante de mí no conocía, aunque es posible que me lo explicaran en mi juventud, cuando estudié Preuniversitario; pero que se me ha olvidado.

La propiedad dice: Si agrupamos la sucesión de los números impares, en conjuntos de 1, 2,… n números: 

a₁, (a₂, a₃), (a₄,a₅,a₆), (a₇, a₈, a₉, a₁₀),..  La suma delos números de cada conjunto, es igual al cubo del número de orden, que ocupa ese conjunto, en la sucesión: T₁, T₂,... T_n,….  de dichos conjuntos, lo primero que tenemos que ver es la relación de n con el primer elemento de cada conjunto. Si observamos un poco nos damos cuenta que los primeros números de cada uno de ellos, forman la sucesión 1, 3, 7, 13… cuyo término general es n²-n+1, por tanto el primer elemento de cada conjunto T_n  es n²-n+1, y el último n²+n-1 ( según el término  general de las progresiones aritméticas, sería el termino n, de una progresión cuyo primer término es n²-n+1 )

Lo más difícil ya está. La demostración es fácil, por inducción completa: si se cumple para el primero y se cumple para un conjunto cualquiera y para el siguiente. Se cumple siempre: 

1.- Es evidente que se cumple para T_1: 1=1³

2.- Se cumple para T_n: el primer término es, como hemos visto, n²-n+1. Todos los números de este conjunto forman una progresión aritmética de n términos, de diferencia 2, por lo que no hay nada más que la fórmula de la suma: (el primer término+ el último) por el número de términos dividido por dos, es decir: (n²-n+1 + n²+n-1)*n/2 =n³

3.- Si se cumple para T_n, se cumple para T_n+1. No hay más que tener en cuenta que el primer número de ese conjunto es (n+1)²-(n+1)+1 y el último (n+1)²+(n+1)-1. Todos forman una progresión aritmética de n+1 términos cuya diferencia es 2. No hay más que aplicar la fórmula de la suma y el resultado es: (n+1)³  y ya está. Se cumple, por tanto la propiedad